Un marco para resolver ecuaciones diferenciales parciales equivalentes puede guiar el procesamiento y la ingeniería de gráficos por computadora

La investigación en ingeniería y procesamiento de gráficos por computadora proporciona las herramientas necesarias para simular fenómenos físicos como el fuego y las llamas, ayudando a crear efectos visuales en videojuegos y películas, así como a fabricar formas geométricas complejas utilizando herramientas como la impresión 3D.

En el fondo, problemas matemáticos llamados ecuaciones diferenciales parciales (PDE) modelan estos procesos naturales. Entre las muchas ecuaciones diferenciales parciales utilizadas en física y gráficos por computadora, una clase llamada ecuaciones diferenciales parciales equivalentes de segundo orden explica cómo los fenómenos pueden suavizarse con el tiempo. El ejemplo más famoso de esta categoría es la ecuación del calor, que predice cómo se propagará el calor a lo largo de una superficie o en un volumen a lo largo del tiempo.

Los investigadores de procesamiento geométrico han diseñado muchos algoritmos para resolver estos problemas en superficies curvas, pero sus métodos a menudo se aplican sólo a problemas lineales o a una única ecuación diferencial parcial. Un enfoque más general de investigadores del Laboratorio de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial del MIT aborda una clase general de estos problemas potencialmente no lineales.

En un artículo de investigación publicado recientemente ha sido publicado en Transacciones ACM en gráficos En un estudio publicado en la revista SIGGRAPH, los investigadores describen un algoritmo que resuelve varias ecuaciones diferenciales parciales no lineales en cuadrículas triangulares dividiéndolas en tres ecuaciones más simples que pueden resolverse utilizando técnicas que los investigadores de gráficos ya tienen en su kit de herramientas de software. Este marco puede ayudar a analizar mejor las formas y modelar procesos dinámicos complejos.

“Ofrecemos una receta: si desea resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales equivalentes de segundo orden, puede seguir un conjunto de tres pasos. Para cada uno de estos pasos de este enfoque, resuelve un problema más simple utilizando herramientas más simples que manipular la geometría, pero al final, se obtiene una solución a las ecuaciones diferenciales parciales equivalentes de segundo orden más desafiantes”.

Con este fin, Matos da Silva y sus coautores utilizaron la partición Strang, una técnica que permite a los investigadores de geometría de procesamiento dividir ecuaciones diferenciales parciales en problemas que saben cómo resolver de manera eficiente.

Primero, su algoritmo hace avanzar la solución en el tiempo resolviendo la ecuación del calor (también llamada “ecuación de difusión”), que simula cómo el calor se propaga desde una fuente sobre una forma. Imagínese usar un soplete para calentar una placa de metal: esta ecuación describe cómo se propaga el calor desde ese punto hacia ella. Este paso se puede completar fácilmente usando álgebra lineal.

Ahora, imagine que la ecuación diferencial parcial equivalente tiene comportamientos no lineales adicionales que no pueden describirse mediante difusión de calor. Aquí viene el segundo paso del algoritmo: explica la parte no lineal resolviendo la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJ), que es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden.

Si bien las ecuaciones generales de HJ pueden ser difíciles de resolver, Matos da Silva y sus coautores han demostrado que su método de partición aplicado a varias ecuaciones diferenciales parciales importantes produce una ecuación de HJ que puede resolverse mediante algoritmos de optimización convexos. La optimización convexa es una herramienta estándar para la cual los investigadores de procesamiento de ingeniería ya cuentan con programas eficientes y confiables. En el paso final, el algoritmo avanza la solución en el tiempo utilizando nuevamente la ecuación de calor para proporcionar la ecuación diferencial parcial equivalente de segundo orden más compleja en el tiempo.

Entre otras aplicaciones, el marco puede ayudar a simular fuego y llamas de manera más eficiente. “Existe un enorme proceso que crea un vídeo de una simulación de llama, pero en el fondo está la resolución de ecuaciones diferenciales parciales”, dice Matos da Silva. Para estos tubos, el paso clave es resolver la ecuación G, una ecuación diferencial parcial equivalente no lineal que simula la propagación directa de la llama y que se puede resolver utilizando el marco de los investigadores.

El algoritmo del equipo también puede resolver la ecuación de difusión en el dominio logarítmico, donde se vuelve no lineal. El autor principal, Justin Solomon, profesor asociado de EECS y jefe del grupo de procesamiento de datos de ingeniería de CSAIL, había desarrollado previamente una técnica sofisticada para una transferencia óptima que requiere tomar un logaritmo del resultado de la difusión de calor.

El marco de Matos da Silva proporcionó cálculos más confiables al realizar la difusión directamente en el dominio logarítmico. Esto ha hecho posible encontrar una forma más estable, por ejemplo, de encontrar un concepto geométrico para la media entre distribuciones en mallas de superficie como el modelo koala.

Aunque su marco se centra en problemas generales no lineales, también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales. Por ejemplo, el método resuelve la ecuación de Fokker-Planck, donde el calor se propaga de forma lineal, pero hay términos adicionales que se desplazan en la misma dirección que la propagación del calor. En una aplicación sencilla, el enfoque modeló cómo se desarrollan los vórtices en la superficie de una esfera triangular. El resultado se parece al arte del café con leche morado y marrón.

Los investigadores señalan que este proyecto constituye un punto de partida para abordar directamente la no linealidad en otras ecuaciones diferenciales parciales que aparecen en el procesamiento y la ingeniería gráfica. Por ejemplo, se centraron en superficies estáticas pero también les gustaría aplicar su trabajo a superficies en movimiento. Además, su marco resuelve problemas que involucran ecuaciones diferenciales parciales equivalentes simples, pero el equipo también desea abordar problemas que involucran ecuaciones diferenciales parciales equivalentes acopladas. Este tipo de problemas surgen en biología y química, donde la ecuación que describe la evolución de cada factor en una mezcla, por ejemplo, se relaciona con las ecuaciones de los demás.

Matos da Silva y Solomon escribieron el artículo en colaboración con Oded Stein, profesor asistente de la Escuela de Ingeniería Viterbi de la Universidad del Sur de California.

Esta historia se republica con permiso de MIT News (Sitio web: www.mit.edu/newsoffice/), un sitio popular que cubre noticias sobre investigación, innovación y enseñanza en el MIT.